Sacred Geometry

«What Euclid wrote in Elements on plane geometry is still completely valid and has not been superseded even dfter 2,000 years.» — Skinner sostiene que lo que Euclides escribió sobre geometría plana en los Elementos sigue enteramente válido y no ha sido superado; el troceo imprime *dfter* donde la frase pide *after*

«What other type of geometry, perhaps more secret or sacred, might have survived hidden in the form of buildings or in the handiwork of nature?» — la pregunta con que Skinner abre el libro: si no habrá sobrevivido, escondida en los edificios o en la obra de la naturaleza, otra geometría más secreta o sagrada

«A temple, for example, may be hallowed if it is constructed according to certain sacred proportions and orientated in a specific direction. Such concerns with proportion and direction are so universal across so many cultures that they must reflect a reality.» — el criterio de Skinner para lo sagrado en arquitectura —proporción y orientación— y el argumento con que lo sostiene: que esas dos preocupaciones sean universales en tantas culturas indica, dice, que responden a algo real

«Just as numbers were sacred for the Pythagoreans, so geometry was sacred for all ancient Greeks because it was the most concrete and yet the most abstract form of reasoning.» — Skinner traza el paralelo del que arranca todo: como los números lo eran para los pitagóricos, la geometría era sagrada para todos los griegos antiguos por ser a la vez la forma más concreta y la más abstracta de razonar

«Geometry, as we will see, is the archetypal patterning of many things, perhaps even all things, be they noumenal (something whose experience may be felt but not proved), conceptual, mathematical, natural or architectural.» — la definición que Skinner adelanta —la geometría como patrón arquetípico de muchas cosas, quizá de todas— va acotada por su propio *perhaps*, y de lo nouménico da esta glosa: aquello cuya experiencia puede sentirse pero no probarse

«Almost all ancient peoples created their temples and other sacred spaces with careful reference to the correct numbers, geometry and proportion. Geometry governed the very movement of the heavenly bodies and the seasons.» — según Skinner, casi todos los pueblos antiguos levantaron sus templos y demás espacios sagrados con referencia cuidadosa a los números, la geometría y la proporción correctos, y la geometría gobernaba el movimiento mismo de los cuerpos celestes y las estaciones

«Geometry in its purest, simplest form is sacred. Yet it is founded on ordinary geometry and the geometric figures of Euclid—circles, triangles, squares—as well as ratios and harmonics.» — la fórmula con que Skinner acota lo sagrado: la geometría en su forma más pura y simple lo es, pero descansa sobre la geometría ordinaria y las figuras de Euclides —círculos, triángulos, cuadrados— y sobre razones y armónicos

«Just as growth is expressed by repeating patterns, so art and virtuosity in architecture are often expressed by harmony.» — la homología que Skinner propone entre crecimiento y arte: los dos se expresan por repetición de patrones, y a eso en arquitectura se le llama armonía

«The proportions that are sacred are governed by certain numbers, such as phi, ®, (also called the Golden Mean). They occur again and again in the work of the ancient Greeks as well as the Gothic architects of the Middle Ages, and also in the growth of living things.» — según Skinner, las proporciones sagradas las gobiernan ciertos números —phi, el llamado Número de Oro— que reaparecen en los griegos antiguos, en los arquitectos góticos de la Edad Media y en el crecimiento de los seres vivos; el troceo imprime el signo de phi como *®*

«Through these numbers the sacred geometry of living things and the perspectives of art and architecture coincide.» — la tesis de convergencia de Skinner: por esos números coinciden la geometría sagrada de lo vivo y las perspectivas del arte y de la arquitectura

«This knowledge was preserved by the Arab world during the early Middle Ages, and then started to return to western Europe in the 12th century with the appearance of translations of Arabic and Greek texts into Latin.» — la cadena de transmisión que traza Skinner: el mundo árabe preserva el saber geométrico durante la alta Edad Media, y regresa a Europa occidental en el siglo XII con las traducciones al latín de textos árabes y griegos

«In the Middle Ages the basic university curriculum was called the trivium, which focused on grammar, rhetoric and logic. The more advanced course, however, was called the guadrivium (literally ‘four subjects’) and reflected the importance of geometry. It consisted of geometry, arithmetic, astronomy and music.» — Skinner sitúa la geometría en el quadrivium medieval, por encima del trivium de gramática, retórica y lógica; el troceo imprime *guadrivium* en esta primera mención y *quadrivium* más abajo en la misma plana

«Music was seen as a matter of arithmetic—the precise arithmetic divisions between adjacent musical notes defined harmony and so formed an arithmetic you could hear.» — la fórmula con que Skinner explica la música del quadrivium: divisiones aritméticas precisas entre notas contiguas, es decir, una aritmética que se oye

«I propose to examine some of the secrets of the quadrivium, which is no longer taught and to a large extent no longer appreciated.» — el segundo enunciado de programa del libro, en primera persona: examinar algunos secretos del quadrivium, que ya no se enseña ni se aprecia

«Of course, the study of sacred geometry has attracted some pretty strange theories and theorists, particularly in the last 30 years. As the internationally renowned astrophysicist Dr Mario Livio wrote in his book The Golden Ratio, it is possible to draw all sorts of geometric figures over any site plan, but if the major vertices of these do not fall on an actual physical point, intersection or corner, the conclusions drawn from such a figure are at best arbitrary and at worst nonsense.» — Skinner marca distancia de la literatura del ramo de los últimos treinta años y se apoya en el astrofísico Mario Livio y su libro The Golden Ratio: sobreponer figuras geométricas a cualquier plano es fácil, y si los vértices mayores no caen en un punto, una intersección o una esquina reales, las conclusiones son arbitrarias en el mejor de los casos

«Egyptian and ancient Greek civilizations used the circle, ellipse, triangle, square, and rectangle to derive harmonious proportions for their tombs and temples. Their geometers were interested in Pythagorean right-angled triangles (for a variety of reasons), the associated square roots, the relationship of a circle to a square, exact whole number ratios of sacred numbers such as 9 (particularly unitary fractions that have 1 as the numerator), and the relationships between the volumes of different buildings.» — el inventario que Skinner atribuye a egipcios y griegos: círculo, elipse, triángulo, cuadrado y rectángulo para derivar proporciones armoniosas, con interés por los triángulos rectángulos pitagóricos, las raíces cuadradas asociadas, la relación del círculo con el cuadrado y las razones en números enteros; el troceo parte *numerator* en *num-erator*

«At all times, from the pyramids of ancient Egypt to the Gothic cathedrals of the Middle Ages, the emphasis was on whole number dimensions that were easily measurable.» — según Skinner, de las pirámides de Egipto a las catedrales góticas el énfasis estuvo siempre en dimensiones de número entero y fácilmente medibles

«To a much lesser extent, they used irrational ratios such as the Golden Section (known by the Greek letter phi, ®, and the same as the Golden Mean), which generates the logarithmic spiral, one of the basic curves of life and growth.» — la acotación con que Skinner limita el peso de lo irracional: la Sección Áurea se usó mucho menos, y de ella deriva la espiral logarítmica, una de las curvas básicas de la vida y del crecimiento

«Pythagoras showed how whole numbers are basic to creation because of the way they define harmony, both in music and the heavenly spheres. We had to wait for» — según Skinner, Pitágoras mostró que los números enteros son básicos para la creación por el modo en que definen la armonía, tanto en la música como en las esferas celestes; la frase sigue en la misma plana con Kepler

«Johannes Kepler (1571-1630) to discover the exact ratios between the period and diameter of planetary orbits to see this confirmed. The architect Sir Christopher Wren helped to prove the astronomical» — Skinner data en Kepler la confirmación de esa armonía —las razones exactas entre periodo y diámetro de las órbitas planetarias— y le adjudica a Wren haber ayudado a probar las razones astronómicas

«Plato (427-347 Bc) believed that all things grew from forms, simple 3-D geometry and immutable patterns that shape the backbone of reality.» — la posición que Skinner atribuye a Platón: todas las cosas crecen de formas, geometría tridimensional simple y patrones inmutables que forman el espinazo de lo real; el troceo imprime *Bc* por *BC*

«For too long his ideas were considered mystical, but the physical importance of simple forms and numbers is now being confirmed by physicists and biologists who have discovered essentially simple formulae, such as the structure of DNA (based on the geometry of the helix and the pentagon) and the pattern of leaf growth in plants (based on a fixed geometric angle).» — Skinner señala que las ideas de Platón se tuvieron demasiado tiempo por místicas y que físicos y biólogos han hallado fórmulas simples —la estructura del ADN, basada en la geometría de la hélice y del pentágono; el patrón de crecimiento de las hojas, basado en un ángulo geométrico fijo— que él lee como confirmación

«The Roman architect Vitruvius (first century BC) articulated mathematical proportion and harmony in building construction. When the details of his work were rediscovered in Europe they set the stage for the buildings of the Renaissance» — según Skinner, Vitruvio articuló la proporción matemática y la armonía en la construcción, y el redescubrimiento de su obra en Europa preparó el terreno para los edificios del Renacimiento

«Sacred geometry was also very much alive in the Islamic world where the representation of human and animal forms was forbidden. Tile patterns, tessellations and timeless architectural features—the cupola, half-dome, tunnel vault, horseshoe arch and pendant stalactite forms—became the concrete mode of geometric expression.» — Skinner sostiene que la geometría sagrada estuvo muy viva en el mundo islámico justamente porque la representación de formas humanas y animales estaba prohibida: los alicatados, las teselaciones, la cúpula, la media cúpula, la bóveda de cañón, el arco de herradura y las mocárabes fueron su modo concreto de expresión

«Gothic architecture absorbed elements of both Greek geometry and Vitruvian proportion. Master masons injected geometric and numerical symbolism into their buildings. Unexpectedly, the circle, rather than the triangle or the square as is often asserted, became the basic controlling device for Gothic cathedral design. Numerical symbolism was rife, and circles, rectangles and other polygons were generated with harmonious and ‘heavenly’ proportions.» — la tesis de Skinner sobre lo gótico: absorbe geometría griega y proporción vitruviana, los maestros canteros inyectaron simbolismo geométrico y numérico en sus edificios, y —contra lo que suele afirmarse— fue el círculo, no el triángulo ni el cuadrado, el dispositivo rector del diseño de las catedrales

«Thinkers such as Leonardo viewed art, architecture and anatomy in the same light, utilizing one in pursuit of the others. Architectural harmony and proportion could be based on human form or the projective geometry of perspective.» — según Skinner, Leonardo y los suyos miraban arte, arquitectura y anatomía bajo la misma luz, y la armonía arquitectónica podía fundarse en la forma humana o en la geometría proyectiva de la perspectiva

«Michelangelo (1475-1564) said that knowledge of the human figure was vital to a comprehension of architecture. Leon Alberti (1404-1472) remarked that a building must appear whole like an organism.» — las dos sentencias que Skinner recoge del Renacimiento: Miguel Ángel, que el conocimiento de la figura humana era vital para comprender la arquitectura, y Leon Alberti, que un edificio debe aparecer entero como un organismo

«Practical as always, Leonardo made his famous drawing of Vitruvius’ homo quadratus to see if the cubit was a valid measure.» — el hallazgo que Skinner adjudica al dibujo del homo quadratus: Leonardo lo hizo, dice, para comprobar si el codo era una medida válida

«Repeating patterns and forms in nature, such as the helix and logarithmic spiral, the geometry of plant growth and the fractal, are products of the internal geometry of growth.» — la tesis de Skinner sobre lo vivo: hélice, espiral logarítmica, geometría del crecimiento vegetal y fractal son productos de la geometría interna del crecimiento, no adornos

«His namesake, Leonardo of Pisa (c.1170-c.1240) had discovered a series of numbers that would become known as the Fibonacci series—its application in charting the repeating patterns of natural growth took a long time to materialize.» — Skinner data en Leonardo de Pisa el descubrimiento de la serie que llevaría el nombre de Fibonacci, y señala que su aplicación al trazado de los patrones repetidos del crecimiento natural tardó mucho en llegar

«Organic forms inspired architecture, such as Antonio Gaudi’s cathedral in Barcelona, as well as artistic styles such as art nouveau and surrealism. They culminated in the complex geometry of structures, such as the Goetheanum in Switzerland and the Sydney Opera House, where culture has to an extent replaced religion as the patron of sacred geometry.» — el arco que Skinner tiende hasta hoy: las formas orgánicas inspiran la catedral de Gaudí en Barcelona, el art nouveau y el surrealismo, y culminan en el Goetheanum y la Ópera de Sídney, donde —dice— la cultura ha sustituido en parte a la religión como patrona de la geometría sagrada

«With the Renaissance came a renewed and voracious interest in Classical theories. Aristotle’s works formed the basis of the most heated debates, as theologians attempted to reconcile his experimental approach to the world with the received and fixed cosmological doctrines of» — el cuadro que traza Skinner del debate renacentista: el interés renovado por las teorías clásicas y los teólogos intentando conciliar el enfoque experimental de Aristóteles con las doctrinas cosmológicas fijas de Ptolomeo; la frase se corta en el fin de plana y sigue en la siguiente con el nombre de *Ptolemy*

«The prime conditions of a sacred space have always been a suitably proportioned architecture, situated on the right spot and» — las tres condiciones que Skinner exige a un espacio sagrado —proporción, sitio y orientación—; la tercera queda del otro lado del corte de plana, donde el texto sigue con *facing in the right direction*

«Strangely, it was not Christian doctrine versus Greek philosophy, but Greek (Ptolemy championed by the» — la corrección que Skinner introduce: no fue doctrina cristiana contra filosofía griega, sino griego contra griego; el tramo se corta en el fin de plana y sigue en la siguiente con *Christian Church) against Greek (Aristotle championed by the Humanists)*

«Hermetic texts and Greek and Arabic translations of more practical works leavened the intellectual ferment.» — el papel que Skinner asigna a los textos herméticos y a las traducciones del griego y del árabe de obras más prácticas: levadura del fermento intelectual del Renacimiento

«The direction faced has always been a key issue: mosques face Mecca, while Hindu temples (mostly) and Christian cathedrals (on the whole) face east. There are notable exceptions, such as Chartres Cathedral in France, which faces northeast. Megalithic monuments, such as Stonehenge in England (which also faces northeast), have distinct orientations: they are orientated to other nearby monuments via ley lines and often incorporate astronomical alignments related to the Sun and the Moon. Sacred geometry is needed to locate and align such sacred structures.» — el inventario de orientaciones que da Skinner: las mezquitas hacia La Meca, los templos hindúes y las catedrales cristianas hacia el este, con excepciones declaradas como Chartres, que mira al noreste, y los monumentos megalíticos orientados entre sí por líneas ley y por alineaciones astronómicas del Sol y de la Luna

«In the past it was of the greatest importance to site churches, temples and megalithic standing stones on a ‘location of power’. In imperial China (and increasingly again in our own times) the practice of feng shui has been used to find the hsueh, or dragon point, to provide maximum energy to important buildings, especially palaces, temples and tombs.» — según Skinner, situar iglesias, templos y megalitos en un sitio de poder fue asunto de la mayor importancia, y en la China imperial —dice que otra vez hoy— el feng shui sirve para hallar el *hsueh* o punto del dragón que da máxima energía a palacios, templos y tumbas

«The early Christian Church went as far as to issue directives that, in every case possible, new churches should be sited on old pagan ‘power spots’. This, of course, was considered desirable for three reasons: the priestly geometricians of the church would harness the power, worshippers of the old religion would continue to come to the site, and the original pagan artefacts would be destroyed. This has interesting implications when we come to look at the geometry of ley lines.» — la política que Skinner atribuye a la Iglesia cristiana primitiva —levantar las iglesias nuevas sobre los antiguos sitios de poder paganos— y las tres razones que le adjudica: aprovechar la fuerza del lugar, retener a los fieles de la religión vieja y destruir los objetos paganos originales

«dimensions of King Solomon’s original Temple in Jerusalem were recorded in at least two places in the Bible, and the subsequent rebuilding (twice) of this Temple has occasioned further discussion of the sacred geometry of the building. In fact, in Victorian times people, such as Sir William Stirling, wrote whole volumes about the sacred dimensions of the Temple. The architecture of Gothic cathedrals were, in turn, based on these recorded dimensions.» — la cadena que traza Skinner del Templo de Salomón: sus dimensiones consignadas al menos dos veces en la Biblia, las dos reconstrucciones que multiplicaron la discusión, los volúmenes victorianos sobre las dimensiones sagradas del Templo —nombra a Sir William Stirling— y la arquitectura de las catedrales góticas fundada, dice, en esas dimensiones consignadas

«The Greeks, as the inventors of the main body of geometry, applied it in detail when they constructed their temples. Greek architecture was not always based on the vaunted Golden Section but, as is the case with the Parthenon, based on unitary fractions and volumes. In Egypt the sacred geometry of the Great Pyramid is dependent more upon seked measure (see page 117) than the Golden Mean, although the latter does occur. Rather surprisingly, the sacred geometry of the Hebrews, Greeks and Egyptians ratios has measuring units in common.» — la corrección que Skinner hace al lugar común del Número de Oro: la arquitectura griega no siempre se basó en él —el Partenón va por fracciones unitarias y volúmenes— y en Egipto la geometría de la Gran Pirámide depende más de la medida *seked* que de la Media Áurea, aunque esta también aparezca; y añade que las razones de hebreos, griegos y egipcios tienen unidades de medida en común

«For centuries, philosophers and scientists have tried to find order in our universe. In this fascinating volume, world-renowned expert Stephen Skinner shows how certain types of geometry and numbers are considered sacred because they codify the hidden order behind creation.» — la solapa del sobrecubierta —no voz del autor— presenta el volumen como respuesta a una búsqueda antigua de orden y le adjudica a Skinner la tesis de que ciertas geometrías y ciertos números se tienen por sagrados porque codifican el orden oculto detrás de la creación

«He reveals how ancient cultures identified repeating patterns and harmoniously proportioned shapes found in nature as evidence of gods at work and thus deemed them sacred.» — sigue la solapa: el argumento que anuncia es que las culturas antiguas leyeron los patrones repetidos y las formas de proporción armoniosa de la naturaleza como señal de dioses en obra

«Euclid saw the perfection of this type of math as a reflection of the creator» — la solapa resume así la posición que atribuye a Euclides: la perfección de esa matemática como reflejo de la mente del creador. Es texto editorial, y el cuerpo del libro no repite la fórmula

«ABOVE Counting leaf growth on the stems of the elm, cherry and pear, each yielding a Fibonacci number. The angles between leaves can be determined by dividing the number of turns (each turn 360 degrees) by the number of leaves sprouted over the distance.» — pie de figura de la plana: el conteo del crecimiento foliar en olmo, cerezo y peral, cada uno dando un número de Fibonacci, con la regla para obtener el ángulo entre hojas

«ABOVE The spires of Chartres Cathedral, symbolizing the Sun and the Moon, are the most obvious of much geometric symbolism embedded in its design.» — pie de figura: las agujas de Chartres como símbolo del Sol y de la Luna, y como la parte más visible del simbolismo geométrico que el libro atribuye al diseño

«ABOVE The Parthenon, built to embody the most subtle geometry of the ancient Greeks, has stood for more than two thousands years. LEFT The forms of nature, such as the spectacular organic curves of the Sydney Opera House, now form the basis of many» — pies de figura de la plana: el Partenón como encarnación de la geometría más sutil de los griegos y las curvas orgánicas de la Ópera de Sídney; el segundo pie se corta en el fin de plana y sigue con *secular buildings*

«LEFT Thirteenth-century surveyors measuring the land using right-angled triangles and triangulation methods.» — pie de la lámina que enfrenta la apertura de la parte primera —plana 18, sin capa de texto—: agrimensores del siglo XIII midiendo la tierra con triángulos rectángulos y triangulación

«ABOVE The holy tetractys, a Pythagorean figure showing that numbers 1 to 4 add up to 10, or the decad, the symbol of completion.» — pie de figura: la tetractys sagrada como figura pitagórica en que los números del 1 al 4 suman 10, la década, símbolo de la compleción

«BELOW A version of the lambda compared with the musical scale, by Francesco Giorgi, a Franciscan friar of Venice. Note that the Z should be read as 2.» — pie de figura: la versión de la lambda cotejada con la escala musical, atribuida a Francesco Giorgi, franciscano de Venecia, con la advertencia de que la Z se lea como 2

«ABOVE The Nine Spheres descending from Heaven to Earth, with the Nine Muses from Thalia (Earth) through Clio (Moon) to Urania (Apollo enthroned) above the fixed stars.» — pie de la lámina: las Nueve Esferas que bajan del Cielo a la Tierra con las nueve Musas, de Talía en la Tierra a Urania con Apolo entronizado sobre las estrellas fijas

«ABOVE The periodic table of the elements shows just 81 stable elements. The elements shown in yellow are either unstable or do not occur in nature.» — pie de figura: la tabla periódica con solo 81 elementos estables, marcados en amarillo los inestables o los que no se dan en la naturaleza

«BELOW Robert Fludd’s vision of the monochord dividing up the universe and the musical scale with the same arithmetical» — pie de figura: el monocordio de Robert Fludd dividiendo el universo y la escala musical con las mismas divisiones aritméticas; el pie se corta en el fin de renglón y remata con *divisions*

«LEFT Pythagoras discovers the arithmetical harmony of sound. Note that the hammers, bells, glasses, strings, and flutes are all calibrated 4, 6, 8, 9, 12, and 16.» — pie de la lámina: Pitágoras descubriendo la armonía aritmética del sonido, con martillos, campanas, copas, cuerdas y flautas calibrados en 4, 6, 8, 9, 12 y 16

«LEFT French clockmakers successfully resisted the decimalization of time, and clocks still measure 60 minutes to the hour rather than 100.» — pie de figura: los relojeros franceses resistieron con éxito la decimalización del tiempo, y los relojes siguen midiendo sesenta minutos por hora y no cien

«ABOVE Eratosthenes waited until the sun was directly | overhead in Syene on the Tropic of Cancer. By measuring the angle at Alexandria he could calculate the polar circumference of the Earth.» — pie de figura: Eratóstenes esperó a que el Sol estuviera en el cenit de Siena sobre el Trópico de Cáncer, y midiendo el ángulo en Alejandría pudo calcular la circunferencia polar

«ABOVE Where the capstone is missing from a pyramid, simple geometry can be used to calculate the height of the pyramid. Capstone from the pyramid of Ramose, scribe of the royal tomb of Rameses II, Egypt.» — pie de figura: donde falta el piramidión, la geometría simple basta para calcular la altura de la pirámide; el ejemplar es el de la pirámide de Ramose, escriba de la tumba real de Ramsés II

«ABOVE Castlerigg Stone Circle, which may date back to 3200 BC, near Keswick, England, showing some of its 38 standing stones, which form a circle 36 megalithic yards across.» — pie de figura: el círculo de Castlerigg, cerca de Keswick, que el pie data hacia 3200 a. C., con treinta y ocho piedras erguidas formando un círculo de 36 yardas megalíticas de diámetro

«BELOW The cubit was originally devised as a measure from fingertip to elbow, but was later standardised at 44.893 cm (17.674 inches). The royal cubit was» — pie de figura: el codo como medida de la yema del dedo al codo, estandarizado después en 44.893 cm, con el codo real más largo; la cifra de esa diferencia queda cortada en el fin de renglón

«BELOW Peter Plichta’s prime number circle, showing their regular irregularity.» — pie de figura: el círculo de números primos de Peter Plichta, que el pie describe como muestra de su irregularidad regular

«ABOVE The center of this daisy is an example of a natural form patterned on two interlocking spirals derived from the Fibonacci series.» — pie de figura: el centro de la margarita como forma natural trazada sobre dos espirales entrelazadas derivadas de la serie de Fibonacci

«RIGHT The Palazzo Strozzi designed by Leon Battista Alberti and begun in 1489 in Florence, Italy, has one of the most regular and geometric plans governed by the canons of 15th-century architectural proportion.» — pie de figura: el Palazzo Strozzi, que el pie atribuye a Leon Battista Alberti y data en 1489, como uno de los planes más regulares regidos por los cánones de proporción del siglo XV

«ABOVE One Golden Triangle may be constructed on each of the five sides of a regular pentagon. The Golden Triangle has both base angles of 72 degrees, which can be bisected to form another Golden Triangle and so on forever.» — pie de figura: sobre cada uno de los cinco lados de un pentágono regular cabe construir un triángulo áureo, y bisecando sus ángulos de base salen otros sin fin

«BELOW The Fibonacci series unfolds by adding each term to the one previous. Natural growth often conforms to the numbers of this series.» — pie de figura: la serie de Fibonacci se despliega sumando cada término al anterior, y el crecimiento natural se ajusta a menudo a sus números

«ABOVE Leonardo of Pisa, famous for introducing Arabic numbers to Europe, also discovered the Fibonacci series, which was named after him.» — pie de figura: Leonardo de Pisa, célebre por introducir los números arábigos en Europa, y descubridor de la serie que lleva su nombre

«ABOVE Euclid, considered the father of geometry, was the author of the only body of scientific knowledge that has remained valid and unchanged for more than two millennia.» — pie de figura: Euclides como autor del único cuerpo de conocimiento científico que ha permanecido válido e inalterado por más de dos milenios

«ABOVE Directional compass with inbuilt sundial, which is calibrated to work accurately at several different latitudes.» — pie de figura de la misma plana, intercalado por el troceo a media frase del cuerpo: una brújula direccional con reloj de sol incorporado, calibrada para varias latitudes

«LEFT The doubling of the Cube just using geometry was one of the classic problems of antiquity. It can be calculated by multiplying each of the sides by 1.26.» — pie de figura: la duplicación del cubo solo con geometría como uno de los problemas clásicos de la antigüedad, resuelta multiplicando cada lado por 1.26

«ABOVE The three classic curves, the circle, ellipse and parabola, are generated by cutting a cone at different angles.» — pie de figura: las tres curvas clásicas —círculo, elipse y parábola— generadas por cortes del cono en ángulos distintos

«BELOW The cycloid is formed by plotting a point on the rim of a wheel rolling along a flat plane. It was first defined in 1501 by Charles Bouvelles.» — pie de figura: la cicloide como el trazo de un punto del borde de una rueda que rueda sobre un plano, definida por primera vez en 1501 por Charles Bouvelles

«ABOVE/RIGHT The use of knotted ropes was a common Egyptian method of rapidly fixing surveying triangles.» — pie de figura: las cuerdas anudadas como método egipcio corriente para fijar de prisa los triángulos de agrimensura

«ABOVE The composition of a truncated tetrahedron, which is made up of regular hexagonal and triangular faces meeting at 12 vertices.» — pie de figura: la composición del tetraedro truncado, de caras hexagonales y triangulares regulares que concurren en doce vértices

«RIGHT Each bract on the cone of the pinus nigra pine cone lies on the intersection of two spirals that wind in opposite directions around the cone from pole to pole.» — pie de figura: cada bráctea de la piña del pinus nigra se sitúa en la intersección de dos espirales que giran en sentidos opuestos de polo a polo

«ABOVE The coastlines of RIGHT Beautifully curving Scotland and Ireland will lines with endless selfretain their fractal nature similarity at any scale are as you get closer and generated by the closer to them.» — pie de figura: las costas de Escocia e Irlanda conservan su naturaleza fractal por mucho que uno se acerque; el pie queda entreverado en el troceo con el de la derecha, sobre el conjunto de Mandelbrot; el troceo parte *self-similarity* entre dos columnas y span() funde la mitad con el renglón de la otra columna, dando *selfretain*

«LEFT Like water, air adopts a spiral form in tornadoes or storms, which shows up clearly on satellite pictures.» — pie de la lámina que enfrenta la apertura de la parte segunda —plana 64, sin capa de texto—: como el agua, el aire adopta forma espiral en tornados y tormentas, visible en las fotografías de satélite

«The spiral appears in the shape of horns (above), the fossilized chambers of an ammonite (right) and the floating structure of a colony of salps (below).» — pie de figura: la espiral en los cuernos, en las cámaras fosilizadas de un amonites y en la estructura flotante de una colonia de salpas

«ABOVE Even though there are many hexagonal forms, each arm of the same snowflake is symmetrical with its other arms.» — pie de figura: pese a la multitud de formas hexagonales, cada brazo de un mismo copo es simétrico con los demás

«ABOVE LEFT The path of the sun at different times of the year, showing that it rises and sets at different points on the horizon during the course of the year.» — pie de figura: el recorrido del Sol en distintas épocas del año, que sale y se pone en puntos distintos del horizonte

«LEFT Artwork by Detlev van Ravenswaay of the 12 zodiac constellations seen as a fixed imaginary belt round the Earth.» — pie de figura: las doce constelaciones zodiacales vistas como un cinturón imaginario fijo alrededor de la Tierra, en obra de Detlev van Ravenswaay

«ABOVE Kepler tried to use Plato's five perfect solids to determine the spacing of the orbits of the planets, truly applying sacred geometry to astronomy.» — pie de figura: Kepler intentando fijar con los cinco sólidos perfectos de Platón el espaciado de las órbitas planetarias, aplicación —dice el pie— de la geometría sagrada a la astronomía

«RIGHT The Big Dipper constellation (shown in yellow), is significant because it acts like a huge time piece, swinging around the Pole Star but always pointing to it (see red line).» — pie de figura: el Carro actúa como una pieza de relojería enorme que gira alrededor de la Estrella Polar apuntando siempre a ella